ちゃこ さん ご質問有難うございます。
海外（イギリス）から日本への引っ越しの場合は、対応できる業者は限られてくると思います。
国内で、いわゆる引っ越し専業として経営している引っ越し業者の多くは、日本から海外への引っ越しは、提携業者などとのネットワークを使って対応もできると思いますが、イギリスからの引っ越しの場合は、現地での訪問見積もりが出来ないからです。
国際的に展開している大手の運送系の業者さんに限られてくるでしょう。日通さんとかクロネコヤマトとかですね。
料金的なことは私も分かりません。もしよろしければ、当サイトの一括見積もりサービスから、見積もり依頼をされてみては如何でしょうか？対応可能な業者から連絡が入ると思います。
国内の長距離便でも同じことが言えますが、運送方法や業者の考え方によって、料金の差が非常に大きいと思いますので、根気良くたくさんの業者に問い合わせることが一番です。
無料のサービスですから、お気軽のご利用くださいね。